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线性代数

A=[1234]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&2\3&4end{bmatrix}}}

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向量空間是可以縮放和相加的（叫做向量的）對象的集合。

向量空間是现代数学中的一个基本概念。是線性代數研究的基本对象。

向量空间的一个直观模型是向量几何，幾何上的向量及相关的運算即向量加法，標量乘法，以及对運算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空間”这个數學概念的直观形象。

在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，實系數多項式的集合在定义适当的运算后构成向量空間，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

公理化定義

給定域F，F上的向量空間V是一个集合，其上定义了两种二元运算：

• 
  向量加法 + : V × V → V，把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素，记作 u + v；


• 
  标量乘法 · : F × V → V，把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素，記作 a ·u。

V中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。

而集合V公理^[1]才构成一个向量空间（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：

前四個公理說明装备了向量加法的V是交換群，餘下的四个公理應用於标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法（域F中自带的乘法）也是不一样的。

簡而言之，向量空間是一個F−模。

基本性质

以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质：

• 零向量0是唯一的；


• 对任意a ∈ F，a · 0 = 0；


• 对任意u ∈ V，0 ·u = 0（0是F的加法單位元）。


• 如果a ·u = 0，则要么a = 0，要么u = 0。


• 向量加法的逆向量v是唯一的，记作− v。u + (− v)也可以写成u − v，两者都是标准的。


• 对任意u ∈ V，−1 ·u = − u.
  


• 对任意a ∈ F以及u ∈ V， (−a) ·u= −(a ·u) = a · (− u).
  

例子

對一般域F，V记為F-向量空間。若F是實數域ℝ，则V稱為實數向量空間；若F是複數域ℂ，则V稱為複數向量空間；若F是有限域，则V稱為有限域向量空間。

最简单的F-向量空間是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：

1. 
   u + (v + w) = (u + v) + w，


2. 
   v + w = w + v，


3. 零元素存在：实数0满足：对任何的实数v，v + 0 = v，


4. 逆元素存在：对任何的实数v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。


5. 标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.


6. 向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.


7. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。


8. 标量乘法有單位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点P{displaystyle P}都有一个坐标P(x,y){displaystyle P(x,y)}，并对应着一个向量(x,y){displaystyle (x,y)}。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组(x,y){displaystyle (x,y)}。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的欧几里得空间ℝⁿ也是向量空间的例子。其中的向量表示为v=(a1,a2,⋯,an){displaystyle v=(a_{1},a_{2},cdots ,a_{n})}，其中的a1,a2,⋯,an{displaystyle a_{1},a_{2},cdots ,a_{n}}都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：

∀λ∈R,v=(a1,a2,⋯,an)∈Rn,w=(b1,b2,⋯,bn)∈Rn{displaystyle forall lambda in mathbb {R} ,,v=(a_{1},a_{2},cdots ,a_{n})in mathbb {R} ^{n},,w=(b_{1},b_{2},cdots ,b_{n})in mathbb {R} ^{n}}

v+w=(a1,a2,⋯,an)+(b1,b2,⋯,bn)=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn){displaystyle v+w=(a_{1},a_{2},cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},cdots ,a_{n}+b_{n})}

λv=λ(a1,a2,⋯,an)=(λa1,λa2,⋯,λan){displaystyle lambda v=lambda (a_{1},a_{2},cdots ,a_{n})=(lambda a_{1},lambda a_{2},cdots ,lambda a_{n})}

可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的多项式的集合R[X]{displaystyle mathbb {R} [X]}。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，R[X]{displaystyle mathbb {R} [X]}也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合C(R,R){displaystyle {mathcal {C}}(mathbb {R} ,mathbb {R} )}也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

方程组与向量空间

向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：

3x+2y−z=0{displaystyle 3x+2y-z=0}

x+5y+2z=0{displaystyle x+5y+2z=0}

如果(x1,y1,z1){displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}和(x2,y2,z2){displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}都是解，那么可以验证它们的“和”(x1+x2,y1+y2,z1+z2){displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})}也是一组解，因为：

3(x1+x2)+2(y1+y2)−(z1+z2)=(3x1+2y1−z1)+(3x2+2y2−z2)=0{displaystyle 3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0}

(x1+x2)+5(y1+y2)+2(z1+z2)=(x1+5y1+2z1)+(x2+5y2+2z2)=0{displaystyle (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0}

同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：

f″+4xf′+cos⁡(x)f=0{displaystyle f''+4xf'+cos(x)f=0}

出于和上面类似的理由，方程的两个解f1{displaystyle f_{1}}和f2{displaystyle f_{2}}的和函数f1+f2{displaystyle f_{1}+f_{2}}也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

子空間基底

如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的線性子空間（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空间0{displaystyle {0}}。

給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也称線性包络，记作span(B)。

給出一個向量集合B，若它的生成子空间就是向量空間V，则稱B為V的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱V是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列：B={e1,e2,⋯,en,⋯}{displaystyle mathbf {B} =left{e_{1},e_{2},cdots ,e_{n},cdots right}}，那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現：

v=λ1e1+λ2e2+⋯+λnen+⋯{displaystyle v=lambda _{1}e_{1}+lambda _{2}e_{2}+cdots +lambda _{n}e_{n}+cdots }

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ^∞,…中， ℝⁿ的維度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基B={e1,e2,⋯,en}{displaystyle mathbf {B} =left{e_{1},e_{2},cdots ,e_{n}right}}，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：

v=λ1e1+λ2e2+⋯+λnen{displaystyle v=lambda _{1}e_{1}+lambda _{2}e_{2}+cdots +lambda _{n}e_{n}}

那么v可以用数组v=(λ1,λ2,⋯,λn){displaystyle v=(lambda _{1},lambda _{2},cdots ,lambda _{n})}来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：

e1=(1,0,⋯,0){displaystyle e_{1}=(1,0,cdots ,0)}

e2=(0,1,⋯,0){displaystyle e_{2}=(0,1,cdots ,0)}

en=(0,0,⋯,1){displaystyle e_{n}=(0,0,cdots ,1)}

可以证明，存在从任意一个n维的F{displaystyle mathbf {F} }-向量空间到空间Fn{displaystyle mathbf {F} ^{n}}的双射。这种关系称为同构。

線性映射

給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：

f:V→W{displaystyle f:,Vrightarrow W}

∀a∈F,u,v∈V,f(u+v)=f(u)+f(v),f(a⋅v)=a⋅f(v){displaystyle forall ain F,u,vin V,,f(u+v)=f(u)+f(v),,f(acdot v)=acdot f(v)}

所有线性变换的集合记为L(V,W){displaystyle {mathcal {L}}(V,W)}，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，L(V,W){displaystyle {mathcal {L}}(V,W)}中的线性变换可以通过矩阵来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构f:V→W{displaystyle f:,Vrightarrow W}，那么其逆映射g:W→V{displaystyle g:,Wrightarrow V}也存在，并且对所有的x∈V,y∈W{displaystyle xin V,,yin W}，都有：

g∘f(x)=x,f∘g(y)=y{displaystyle gcirc f(x)=x,,fcirc g(y)=y}

概念化及額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

• 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。


• 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。


• 一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。


• 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。

參考文獻

• 《中国大百科全书》


• Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.


• Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.


• Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.


• Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.


• Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8