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芝诺悖论是古希腊哲學家（Philosopher/Philosophen/философ/φιλόσοφος）^[1][2][3][4]芝诺（Zeno of Elea）（盛年约在公元前464－前461年）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的两个是：“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”。這些方法現在可以用微積分（無限）的概念解釋。

两分法悖论

这裡的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。从A到B的运动如果发生在无限长的时间内，那么悖论就为真，因为此时速度为0。

速度这个概念虽然可以被表示为距离除以时间，但是速度是一个自然界的固有概念，并不依赖于时间和距离。所以庄子的万世不竭反倒成为一个真实的叙述，而不是悖论。

阿基里斯悖论

常見的敘述為追著烏龜的阿基里斯，本悖論因此得其名。

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999...，1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999...，但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0，或1-0.999...>0”思想。

悖論的解決

理論說得頭頭是道，但為何實際卻不是如此？原因見下。

不妨令阿基里斯步行的速度為每秒10m，烏龜爬行的速度為每秒0.1m，
並且在比賽之前，阿基里斯讓烏龜先爬999m，在這種條件下，阿基里斯追趕烏龜所用的時間為：

 999 ÷ 10 = 99.9秒

 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒

 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒

 · · · · · ·

這些數字，按其先後排列，可以構成一個無限序列：

 99.9, 0.999, 0.00999, · · ·

 

 其和為：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

所以其實阿基里斯只要跑101秒，即可超越烏龜。

換個角度說，阿基里斯之所以追不上烏龜，原因在題目的背面－－小前提「由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。」已經限制了阿基里斯追趕的距離。

因此會得到無限的時間序列。

求極限值

追乌龟亦涉及到极限是否存在的問題。譬如说，阿基里斯的速度改為10m/s，乌龟的速度是1m/s，乌龟原先在阿基里斯前面9m。進行上述步驟後，總共所花的時間應表示為t=0.9+0.09+0.009+...=0.999...{displaystyle t=0.9+0.09+0.009+...=0.999...}。

其一，關於极限這个无限过程的意義，涉及到实无限（英语：Actual infinity）與潜无限（potential infinity）的討論。潜无限的性質是无限过程无法完成，故上述級數雖然能无限逼近1，但不能說是等於1──故沒有一個時間點（若有，必須是1）能代表乌龟被追上的時間。在潜无限的框架下，可以假设空间無法无限分割，如此一來此悖论就不存在了。但实无限的理論是，无限过程可以完成，即逼近的過程與其极限等價，故阿基里斯可以追上烏龜。現在的实数，极限，微积分都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。

其二，關於要如何找到該無限過程的極限，歐拉曾提出「0.9999999999⋯=1{displaystyle 0.9999999999dots =1}」之證明如下：

令S=0.99999999999…{displaystyle S=0.99999999999dots }

則10S=9.9999999999…{displaystyle 10S=9.9999999999dots }

兩式相減可得：

10S−S=9.9999999999⋯−0.99999999999…9S=9S=1{displaystyle {begin{aligned}10S-S&=9.9999999999dots -0.99999999999dots \9S&=9\S&=1end{aligned}}}

故0.99999999999⋯=1{displaystyle 0.99999999999dots =1}

歐拉一生中曾多次在其理論中進行這類極限的運算，然而他未能解釋極限的存在性與加減乘除等運算，可謂有著邏輯上的漏洞。而近代數學的極限、實數等概念正能填其邏輯漏洞。

飞矢不动悖论

但由於箭要達到每一時刻的固定位置必須存在動能，所以箭必須是運動狀態。

這個悖論的問題在于，「飛行」的運動，是依賴于兩個時間點的。即從這一刻到那一刻的時間內，這支箭是否移動。

另外，中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

游行队伍悖论

首先假設在操場上，在一瞬間（一个最小时间单位）裡，相对于观众席Ａ，列队Ｂ、Ｃ将分别各向右和左移动一个距离单位。

　ＡＡＡＡ　观众席Ａ

　ＢＢＢＢ　队列Ｂ・・・向右移动（→）

　ＣＣＣＣ　队列Ｃ・・・向左移动（←）

Ｂ、Ｃ两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席Ａ，Ｂ和Ｃ分别向右和左各移动了一个距离单位。

　ＡＡＡＡ

　　ＢＢＢＢ

ＣＣＣＣ

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）裡移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位裡移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

（四个悖论的叙述引自莫里斯·克萊因《古今数学思想》中译本，Bill Smith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。）

芝諾現象

在一個跟時間有關的系統中，如果牽涉到有限時間內，無限多次的操作，我們會稱之芝諾現象或芝諾行為。一個簡單的例子是球在地面上反彈到停止的過程。處理這個問題的方法，是直接假設停止的時間點，只考慮反彈，不去考慮無窮多次，以計算無窮多次反彈之後的結果。

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