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上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓扑空间是一种数学结构，可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

定义

拓撲空間是一個集合 $X$ 和其上定义的拓扑结构 $tau$ 组成的二元组 $(X,tau )$ 。 $X$ 的元素 $x$ 通常称为拓扑空间 $(X,tau )$ 的点。而拓扑结构 $tau$ 一词涵盖了开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间 $(X,tau )$ 作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从开集开始的。

开集公理

$X$ 的子集的集合族 ${mathfrak {O}}$ 称为开集系（其中的元素称为开集），当且仅当其滿足如下开集公理：

O₁： $varnothing in {mathfrak {O}}$ ， $Xin {mathfrak {O}}$ 。

O₂：若 $A_{{lambda }}in {mathfrak {O}}$ （ $lambda in Lambda$ ），则 $bigcup _{{lambda in Lambda }}A_{{lambda }}in {mathfrak {O}}$ （对任意并运算封闭）。

O₃：若 $A,Bin {mathfrak {O}}$ ，则 $Acap Bin {mathfrak {O}}$ 。（对有限交运算封闭）。

从开集出发定义其它各概念：

从开集定义闭集： $X$ 的子集 $A$ 是闭集，当且仅当 $X-A$ 是开集。

从开集定义邻域： $X$ 的子集 $U$ 是点 $x$ 的邻域，当且仅当存在开集 $O$ ，使 $xin Osubseteq U$ 。

从开集定义开核： $X$ 的子集 $A$ 的开核 $A^{{circ }}$ 等于 $A$ 包含的所有开集之并。

闭集公理

$X$ 的子集的集合族 ${mathfrak {F}}$ 称为闭集系（其中的元素称为闭集），当且仅当其滿足如下闭集公理：

C₁： $varnothing in {mathfrak {F}}$ ， $Xin {mathfrak {F}}$ 。

C₂：若 $A_{{lambda }}in {mathfrak {F}}$ （ $lambda in Lambda$ ），则 $bigcap _{{lambda in Lambda }}A_{{lambda }}in {mathfrak {F}}$ （对任意交运算封闭）。

C₃：若 $A,Bin {mathfrak {F}}$ ，则 $Acup Bin {mathfrak {F}}$ 。（对有限并运算封闭）。

（显然，闭集是开集的对偶概念）。

从闭集出发定义其它各概念：

从闭集定义开集： $X$ 的子集 $A$ 是开集，当且仅当 $X-A$ 是闭集。

从闭集定义闭包： $X$ 的子集 $A$ 的闭包 $overline{A}$ 等于包含A的所有闭集之交。

邻域公理

$X$ 的映射 ${mathfrak {U}}:Xto P(P(X))$ （ $P(P(X))$ 指 $X$ 的幂集的幂集）。这样 ${mathfrak {U}}$ 将 $X$ 的每个点 $x$ 映射至 $X$ 的子集族 ${mathfrak {U}}(x)$ 。 ${mathfrak {U}}(x)$ 称为 $x$ 的邻域系（ ${mathfrak {U}}(x)$ 的元素称为 $x$ 的邻域），当且仅当对任意的 $x in X$ ， ${mathfrak {U}}(x)$ 满足如下邻域公理：

U₁：若 $Uin {mathfrak {U}}(x)$ ，则 $xin U$ 。

U₂：若 $U,Vin {mathfrak {U}}(x)$ ，则 $Ucap Vin {mathfrak {U}}(x)$ 。（邻域系对邻域的有限交封闭）。

U₃：若 $Uin {mathfrak {U}}(x)$ ， $Usubseteq Vsubseteq X$ ，则 $Vin {mathfrak {U}}(x)$ 。

U₄：若 $Uin {mathfrak {U}}(x)$ ，则存在 $Vin {mathfrak {U}}(x)$ ，且 $Vsubseteq U$ ，使对所有 $yin V$ ，有 $Uin {mathfrak {U}}(y)$ 。

从邻域出发定义其它概念：

从邻域定义开集： $X$ 的子集 $O$ 是开集，当且仅当对任意 $xin O$ ，有 $Oin {mathfrak {U}}(x)$ 。（ $O$ 是其中每个点的邻域）。

从邻域定义开核： $X$ 的子集 $A$ 的开核 $A^{{circ }}={x|exists Uin {mathfrak {U}}(x),Usubseteq A}$ 。

从邻域定义闭包： $X$ 的子集 $A$ 的闭包 $overline {A}={x|forall Uin {mathfrak {U}}(x),Ucap Aneq varnothing }$ 。

闭包公理

$X$ 的幂集 $P(X)$ 上的一元运算 $c:P(X)to P(X)$ （即将 $X$ 的子集A映射为 $X$ 的子集 $c(A)$ ）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算 $c$ 满足下述的闭包公理：

A₁： $Asubseteq c(A)$ ；

A₂： $c(c(A))=c(A)$ ；

A₃： $c(Acup B)=c(A)cup c(B)$ ；

A₄： $c(varnothing )=varnothing$ 。

集合 $A$ 的闭包通常记为 $overline{A}$ 。

从闭包出发定义其它概念：

从闭包定义闭集： $X$ 的子集 $A$ 是闭集，当且仅当 $A=overline {A}$ 。

从闭包定义开核： $X$ 的子集 $A$ 的开核 $A^{{circ }}=X-overline {X-A}$ 。

从闭包定义邻域： $X$ 的子集 $U$ 是点 $x$ 的邻域，当且仅当 $xnotin X-overline {U}$ 。

开核公理

$X$ 的幂集 $P(X)$ 上的一元运算 $o:P(X)to P(X)$ （即将 $X$ 的子集A映射为 $X$ 的子集 $o(A)$ ）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算 $o$ 满足如下开核公理：

I₁： $o(A)subseteq A$ ；

I₂： $o(o(A))=o(A)$ ；

I₃： $o(Acap B)=o(A)cap o(B)$ ；

I₄： $o(X)=X$ 。

集合 $A$ 的开核通常记为 $A^{{circ }}$ 。
（显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：

从开核定义开集： $X$ 的子集 $A$ 是开集，当且仅当 $A=A^{{circ }}$ 。

从开核定义邻域： $X$ 的子集 $U$ 是点 $x$ 的邻域，当且仅当 $xin U^{{circ }}$ 。

从开核定义闭包： $X$ 的子集 $A$ 的闭包 $overline {A}=X-(X-A)^{{circ }}$ 。

导集公理

$X$ 的幂集 ${mathcal {P}}(X)$ 上的一元运算 ${displaystyle d:{mathcal {P}}(X)to {mathcal {P}}(X)}$ （即将 $X$ 的子集 $A$ 映射为 $X$ 的子集 $d(A)$ ）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当 $d$ 满足以下导集公理：

D₁： $d(varnothing )=varnothing$ ；

D₂： ${displaystyle d(d(A))subseteq d(A)cup A}$ ；

D₃： ${displaystyle forall xin X, d(A)=d(A-{x})}$ ；

D₄： ${displaystyle d(Acup B)=d(A)cup d(B)}$

从导集出发定义其它概念：

从导集定义闭集： $X$ 的子集 $A$ 是闭集，当且仅当 $d(A)subseteq A$ 。

拓扑之间的关系

同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑 ${mathfrak {T}}_{1}$ 的每一个开集都是拓扑 ${mathfrak {T}}_{2}$ 的开集时，称拓扑 ${mathfrak {T}}_{2}$ 比拓扑 ${mathfrak {T}}_{1}$ 更细，或称拓扑 ${mathfrak {T}}_{1}$ 比拓扑 ${mathfrak {T}}_{2}$ 更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

连续映射与同胚

类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。

拓扑空间上的一个映射 $f$ 称为连续映射，当且仅当它满足以下条件之一：

$f$ 对任何开集的原像是开集。（这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。）

$f$ 对任何闭集的原像是闭集。

对点 $f(x)$ 的任一邻域 $V$ ，都存在点 $x$ 的一个邻域 $U$ ，使得 $f(U)subset V$ ，则称 $f(x)$ 在点 $x$ 连续，而连续映射即点点连续的映射。

对任一集合 $A$ ， $f(overline {A})subseteq overline {f(A)}$ 成立。

对任一集合 $A$ ， $f^{{-1}}(A^{{circ }})subseteq (f^{{-1}}(A))^{{circ }}$ 成立。

同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。

拓扑空间范畴

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

拓扑空间的例子

实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。

更一般的，n维欧几里得空间Rⁿ构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。

任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。

任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。

除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。

流形都是一个拓扑空间。

每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。

每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。

扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对Rⁿ或者Cⁿ来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。

线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。

泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。

任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。

任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些極端情況下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。

有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T₁拓扑。

可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。

如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。

例子

X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個平庸拓扑。

X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。

X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。

1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。

2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。

3个元素的集上总拓扑数只有29个。

4个元素的集上总拓扑数只有355个。

n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的总拓扑29个具体如下：

{∅, X}

{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}

{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}

{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}

{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X}

{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}

{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}

{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}

{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X}

{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}

{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓扑空间的构造

拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。

对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。

商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X → Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。

Vietoris拓扑

拓扑空间的分类

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

分离公理

详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。

拓扑不可区分性

X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立：

对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。

x的邻域系和y的邻域系相同。

$xin overline {{y}}$ ，且 $yin overline {{x}}$ 。

可数公理

可分的: X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。
第一可数: X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
第二可数: X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。

连通性

连通: X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。
局部连通: X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。
完全不连通: X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
道路连通: X称为道路连通的，当且仅当其任意两点x和y，存在从x到y的道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] → X，满足p（0）= x 且p（1）= y。道路连通的空间总是连通的。
局部道路连通: X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。
单连通: X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射 $f:{mathbb {S}}^{1}rightarrow X$ 都与常数映射同伦。
可缩: X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。
超连通: X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
极连通: X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
平庸的: X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。

紧性

（详细资料请参照紧集）

紧性: X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
林德洛夫性质: X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
仿紧: X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
可数紧: X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
列紧: X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
伪紧: X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

可度量化

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

拥有代数结构的拓扑空间

对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群 $G$ 乃是一个拓扑空间配上连续映射 $m:Gtimes Grightarrow G$ （群乘法）及 $i:Grightarrow G$ （反元素），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

拥有序结构的拓扑空间

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

谱空间（spectral space）上的序结构。

特殊化预序：定义 $xleq yLeftrightarrow {mathrm {cl}}(x)subset {mathrm {cl}}(y)$ 。常见於计算机科学。

历史

参见拓扑学。

外部链接

n个元素的集上总拓扑数规律

整數數列線上大全:OEIS-A000798.

参考书目

John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.

James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.

点集拓扑学初步 / 江泽涵著. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979年1月。

点集拓扑学基础 / 吴东兴著. - 北京: 科学出版社, 1981年3月。

点集拓扑学原理 / 鲍姆著;蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。

一般拓扑学 / 李普舒茨著;陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982年1月。

一般拓扑学 / 凯莱著;吴丛，吴让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982年5月。

拓扑学引论 / 本特·门德尔森著;陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983年1月。

基础拓扑学 / 阿姆斯特朗著;孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983年1月。

点集拓扑学 / 方嘉琳编著. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月。

拓扑学的基础和方法 / 野口宏著;郭卫中，王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986年3月。

拓扑学初步 / 苏步青著. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。

拓扑学基础教程 / 曼克勒斯著;罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月。

基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。

一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光著. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。

拓扑学导论 / 鲍里索维奇等著;盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。

基础拓扑学讲义 / 尤承业编著. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.

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