Differentiation under the integral sign - what transformations to use?












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Need some help with this integral



$$I (alpha) = int_1^infty {arctan(alpha x) over x^2sqrt{x^2-1}} dx$$



Taking the first derivative with respect to $alpha$



$$I' (alpha) = int_1^infty { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }$$



What transformations to use in order to solve $I'(alpha)$?






calculus integration







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    Need some help with this integral



    $$I (alpha) = int_1^infty {arctan(alpha x) over x^2sqrt{x^2-1}} dx$$



    Taking the first derivative with respect to $alpha$



    $$I' (alpha) = int_1^infty { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }$$



    What transformations to use in order to solve $I'(alpha)$?






    calculus integration







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      Need some help with this integral



      $$I (alpha) = int_1^infty {arctan(alpha x) over x^2sqrt{x^2-1}} dx$$



      Taking the first derivative with respect to $alpha$



      $$I' (alpha) = int_1^infty { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }$$



      What transformations to use in order to solve $I'(alpha)$?






      calculus integration







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      Need some help with this integral



      $$I (alpha) = int_1^infty {arctan(alpha x) over x^2sqrt{x^2-1}} dx$$



      Taking the first derivative with respect to $alpha$



      $$I' (alpha) = int_1^infty { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }$$



      What transformations to use in order to solve $I'(alpha)$?






      calculus integration




      calculus integration






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      El Pasta

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      KatKat

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          Substitute
          $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
          Then
          $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
          Perform partial fraction decomposition
          $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
          Sure you know that
          $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
          To solve for
          $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
          Use substitution
          $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
          $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
          Now plug in back $x$, you would get



          $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
          I think you can handle the rest of the calculation.






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            StackExchange.ifUsing("editor", function () {
            return StackExchange.using("mathjaxEditing", function () {
            StackExchange.MarkdownEditor.creationCallbacks.add(function (editor, postfix) {
            StackExchange.mathjaxEditing.prepareWmdForMathJax(editor, postfix, [["$", "$"], ["\\(","\\)"]]);
            });
            });
            }, "mathjax-editing");

            StackExchange.ready(function() {
            var channelOptions = {
            tags: "".split(" "),
            id: "69"
            };
            initTagRenderer("".split(" "), "".split(" "), channelOptions);

            StackExchange.using("externalEditor", function() {
            // Have to fire editor after snippets, if snippets enabled
            if (StackExchange.settings.snippets.snippetsEnabled) {
            StackExchange.using("snippets", function() {
            createEditor();
            });
            }
            else {
            createEditor();
            }
            });

            function createEditor() {
            StackExchange.prepareEditor({
            heartbeatType: 'answer',
            autoActivateHeartbeat: false,
            convertImagesToLinks: true,
            noModals: true,
            showLowRepImageUploadWarning: true,
            reputationToPostImages: 10,
            bindNavPrevention: true,
            postfix: "",
            imageUploader: {
            brandingHtml: "Powered by u003ca class="icon-imgur-white" href="https://imgur.com/"u003eu003c/au003e",
            contentPolicyHtml: "User contributions licensed under u003ca href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"u003ecc by-sa 3.0 with attribution requiredu003c/au003e u003ca href="https://stackoverflow.com/legal/content-policy"u003e(content policy)u003c/au003e",
            allowUrls: true
            },
            noCode: true, onDemand: true,
            discardSelector: ".discard-answer"
            ,immediatelyShowMarkdownHelp:true
            });


            }
            });














            draft saved

            draft discarded


















            StackExchange.ready(
            function () {
            StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3081395%2fdifferentiation-under-the-integral-sign-what-transformations-to-use%23new-answer', 'question_page');
            }
            );

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            Substitute
            $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
            Then
            $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
            Perform partial fraction decomposition
            $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
            Sure you know that
            $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
            To solve for
            $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
            Use substitution
            $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
            $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
            Now plug in back $x$, you would get



            $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
            I think you can handle the rest of the calculation.






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              Substitute
              $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
              Then
              $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
              Perform partial fraction decomposition
              $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
              Sure you know that
              $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
              To solve for
              $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
              Use substitution
              $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
              $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
              Now plug in back $x$, you would get



              $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
              I think you can handle the rest of the calculation.






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                Substitute
                $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
                Then
                $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
                Perform partial fraction decomposition
                $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
                Sure you know that
                $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
                To solve for
                $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
                Use substitution
                $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
                $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
                Now plug in back $x$, you would get



                $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
                I think you can handle the rest of the calculation.






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                Substitute
                $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
                Then
                $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
                Perform partial fraction decomposition
                $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
                Sure you know that
                $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
                To solve for
                $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
                Use substitution
                $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
                $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
                Now plug in back $x$, you would get



                $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
                I think you can handle the rest of the calculation.







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                    StackExchange.ready(
                    function () {
                    StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3081395%2fdifferentiation-under-the-integral-sign-what-transformations-to-use%23new-answer', 'question_page');
                    }
                    );

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                    日野市

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                    body.skin-minerva .mw-parser-output table.infobox caption{text-align:center} 日野市 日野市 日文轉寫  • 日文 日野市  • 平假名 ひのし  • 罗马字 Hino-shi 金剛寺（關東三十六不動尊靈場第9號）的不動堂 市旗 徽章 日野市在東京都的位置 日野市 日野市在日本的位置 坐标： 35°40′17″N 139°23′42″E  /  35.6714°N 139.395°E  / 35.6714; 139.395 国家   日本 地方 關東地方 都道府縣 東京都 接鄰行政區 府中市、國立市、立川市、昭島市、八王子市、多摩市 政府  • 市長 大坪冬彦 面积  •  总计 27.53 平方公里（10.63 平方英里） 人口 （2014年12月1日）  • 總計 183,323  • 密度 6,660/平方公里（17,200/平方英里） 象徵  • 市樹 樫  • 市花 菊花  • 市鳥 普通翠鳥 时区 日本標準時間 （UTC+9） 地方公共團體編號 13212-8 邮政编码 〒 191-8686 市役所地址 日野市神明一丁目12番1號 電話號碼 +81-42-585-1111 法人編號 1000020132128 網站 http://www.city.hino.lg.jp/ 人口：日野市官方網頁 日野市 （日语： 日野市 ／ ひのし   Hino shi   * / ? ）為一位于東京都（不含島嶼部分）中央地帶的城市。從東京站乘坐中央線特別快速列車45分鐘即可到該市。面積27.53km²。1963年（昭和38年）11月3日，該市開始實行市制，為全日本第559個市。汽車企業日野自動車的總部位於這裡。 往東京都特別區部的通勤率為20.9%，往八王子市的通勤率為12.0%（平成22年國勢調査）。 目录 1 概要 ...
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                    Tu-95轟炸機

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                    body.skin-minerva .mw-parser-output table.infobox caption{text-align:center} 图-95 Ту–95 北约代号：熊（Bear） 一架在安格斯空军基地的图-95MS 概觀 類型 战略轰炸机 代號 北约代号： Bear （熊） 乘員 7名 駕駛員2名，機尾炮手1名，其他人員4名 首飛 1952年11月12日 服役 1956年 設計 圖波列夫設計局 產量 超过500架 現況 现役 主要用戶   蘇聯   俄羅斯 衍生機型 图-114、图-119、Tu-95 技术数据 長度 49.50米（162呎5吋） 翼展 51.10米（167呎8吋） 高度 12.12米（39呎9吋） 翼面積 310平方米（3,330平方呎） 空重 90,000公斤（198,000磅） 最大起飛重量 188,000公斤（414,500磅） 發動機 4具库兹涅佐夫NK-12MV型渦輪螺旋槳發動機 功率 4×11,000千瓦（14,800馬力） 性能數據 最大速度 925公里／時（500節，575哩／時） 爬升率 10米／秒（2,000呎／分） 最大升限 12,000米（39,000呎） 最大航程 15,000公里（8,100海浬，9,400哩） 翼負荷 606公斤／平方米（124磅／平方呎） 推重比 235 W／公斤（0.143馬力／磅） 武器装备 機炮 1具/2具AM-23型23公釐雷達控制機砲（機尾） 飛彈 空对地导弹： Kh-20、Kh-22 Kh-26、Kh-55 炸彈 60枚FAB-250炸彈，或 30枚FAB-500炸彈。 其他 载弹量（包括飞弹）：最多15,000公斤（33,000磅） Tu-95熊式MR型機 图-95 （俄语： Ту–95 ， 英语： Tu-95 ），北約代號： Bear （ 熊 ），是蘇聯圖波列夫設計局所研製，是全世界唯一服役的大型四渦輪螺旋槳發動機...
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