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椭球

椭球是一种二次曲面，是椭圆在三维空间的推广。椭球在xyz-笛卡儿坐标系中的方程是：

x2a2+y2b2+z2c2=1{displaystyle {x^{2} over a^{2}}+{y^{2} over b^{2}}+{z^{2} over c^{2}}=1}

其中a和b是赤道半径（沿着x和y轴），c是极半径（沿着z轴）。这三个数都是固定的正实数，决定了椭球的形状。

如果三个半径都是相等的，那么就是一个球；如果有两个半径是相等的，则是一个类球面。

• 
  a=b=c:{displaystyle a=b=c:,!} 球；


• 
  a=b>c:{displaystyle a=b>c:,!} 扁球面（类似盤状）；


• 
  a=b<c:{displaystyle a=b<c:,!} 长球面（类似條状）；


• 
  a>b>c:{displaystyle a>b>c:,!} 不等边椭球（“三条边都不相等”）。

点(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。从原点到这三个点的线段，称为椭球的半主轴。它们与椭圆的半长轴和半短轴相对应。

椭球与平面相交的横截面

Illustration of an ellipsoid with three principal axes and intersected by a horizontal plane parallel with XY plane

椭球与平面相交的横截面为椭圆。如右图所示，椭圆的两个直径 d2{displaystyle {d_{2}}} 与 d1{displaystyle {d_{1}}} 可表示为^[1]

d1,22=8(1−zc2∑i=13ri2sin2⁡pi)∑i=13cos2⁡piri2±(∑i=13cos2⁡piri2)2−4(∑i=13ri2sin2⁡pi)/r12r22r32{displaystyle {d_{1,2}^{2}}={{8(1-{z_{c}^{2} over {sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}sin ^{2}p_{i}}})} over {sum _{i=1}^{3}{cos ^{2}p_{i} over {r_{i}^{2}}}}pm {sqrt {(sum _{i=1}^{3}{cos ^{2}p_{i} over {r_{i}^{2}}})^{2}-4(sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}sin ^{2}p_{i})/r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}}}}}

参数化

使用普通坐标系，其中β{displaystyle beta ,!}是一点的纬度，+λ′{displaystyle {color {white}+}!!!lambda {color {white}'},!}是该点的经度，则椭球可以表示为以下的参数形式：

x=acos⁡βcos⁡λ;|y=bcos⁡βsin⁡λ;z=csin⁡β;{displaystyle {begin{aligned}x&=a,cos beta cos lambda ;!{color {white}|}\y&=b,cos beta sin lambda ;\z&=c,sin beta ;end{aligned}},!}

−90∘≤β≤90∘;−180∘≤λ≤180∘;|{displaystyle {begin{matrix}-90^{circ }leq beta leq 90^{circ };quad -180^{circ }leq lambda leq 180^{circ };!{color {white}{big |}}end{matrix}},!}

（注意，当|β=±90∘|{displaystyle scriptstyle {{color {white}|}beta =pm {90}^{circ }}{color {white}|},!}时，也就是在极点时，这个参数不是一一对应的）

或者，使用球坐标系，其中+θ′{displaystyle {color {white}+}!!!theta {color {white}'},!}是天顶，+φ−{displaystyle {color {white}+}!!!varphi {color {white}!!!-},!}是方位角：

x=asin⁡θcos⁡φ;|y=bsin⁡θsin⁡φ;z=ccos⁡θ;{displaystyle {begin{aligned}x&=a,sin theta cos varphi ;!{color {white}|}\y&=b,sin theta sin varphi ;\z&=c,cos theta ;end{aligned}},!}

0≤θ≤180∘;0≤φ≤360∘;|{displaystyle {begin{matrix}0leq theta leq {180}^{circ };quad {0}leq varphi leq {360}^{circ };!{color {white}{big |}}end{matrix}},!}

体积

椭球的体积由以下公式给出：

43πabc.{displaystyle {frac {4}{3}}pi abc.,!}

注意，当三个半径都相等时，这个公式便化为球的体积；两个半径相等时，便化为扁球面或长球面的体积。

表面积

椭球的表面积由以下公式给出：

S=2π[c2+ba2−c2F(oε,b2−c2b2sin2⁡oε)+bc2a2−c2E(oε,b2−c2b2sin2⁡oε)],{displaystyle S=2pi left[c^{2}+b{sqrt {a^{2}-c^{2}}}Fleft(o!varepsilon ,{frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}sin ^{2}o!varepsilon }}right)+{frac {bc^{2}}{sqrt {a^{2}-c^{2}}}}Eleft(o!varepsilon ,{frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}sin ^{2}o!varepsilon }}right)right],,!}

其中

oε=arccos⁡ca{displaystyle o!varepsilon =arccos {frac {c}{a}};}（扁球面）或arccos⁡ac{displaystyle arccos {frac {a}{c}};}（长球面），是角离心率；F(x,k){displaystyle F(x,k),!}、E(x,k){displaystyle E(x,k),!}是第一类和第二类不完全椭圆积分。

与球的表面积不同，椭球的表面积一般不能用初等函数来表示。

一个近似公式为：

S≈4π(apbp+apcp+bpcp3)1p.{displaystyle Sapprox 4pi !left({frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}right)^{frac {1}{p}}.,!}

其中p≈1.6075{displaystyle papprox 1.6075,}。这样相对误差最多为1.061{displaystyle 1.061,}%（Knud Thomsen公式）；p=85=1.6{displaystyle p={frac {8}{5}}=1.6,}的值对于接近于球的椭球较为适宜，其相对误差最多为1.178{displaystyle 1.178,}%（David W. Cantrell公式）。

对于a=b{displaystyle a=b,}的情况，有一个精确的公式：

 扁球面：S=2π(a2+c2arctanh⁡sin⁡oεsin⁡oε);{displaystyle S=2pi !left(a^{2}+c^{2}{frac {operatorname {arctanh} sin o!varepsilon }{sin o!varepsilon }}right);,!}

长球面：S=2π(a2+c2oεtan⁡oε);{displaystyle S=2pi !left(a^{2}+c^{2}{frac {o!varepsilon }{tan o!varepsilon }}right);,!}

c{displaystyle c,}比a{displaystyle a,}和b{displaystyle b,}都小很多时，表面积近似等于2πab.{displaystyle 2pi ab.,!}。

质量性质

均匀密度的椭球的质量为：

m=ρV=ρ43πabc{displaystyle m=rho V=rho {frac {4}{3}}pi abc,!}

其中ρ{displaystyle rho ,!}是密度。

均匀密度的椭球的转动惯量为：

Ixx=mb2+c25{displaystyle I_{mathrm {xx} }=m{b^{2}+c^{2} over 5}}

Iyy=mc2+a25{displaystyle I_{mathrm {yy} }=m{c^{2}+a^{2} over 5}}

Izz=ma2+b25{displaystyle I_{mathrm {zz} }=m{a^{2}+b^{2} over 5}}

其中Ixx{displaystyle I_{mathrm {xx} },!}、Iyy{displaystyle I_{mathrm {yy} },!}和Izz{displaystyle I_{mathrm {zz} },!}分别是关于x、y和z轴的转动惯量。惯性积为零。

容易知道，如果a=b=c，那么上述公式便化为均匀密度的球的转动惯量。

反过来，如果知道了一个任意刚体的质量和主惯性矩，那么就可以构造出一个等价的均匀密度的椭球，使用以下特征：

a=52Iyy+Izz−Ixxm{displaystyle a={sqrt {{5 over 2}{I_{mathrm {yy} }+I_{mathrm {zz} }-I_{mathrm {xx} } over m}}}}

b=52Izz+Ixx−Iyym{displaystyle b={sqrt {{5 over 2}{I_{mathrm {zz} }+I_{mathrm {xx} }-I_{mathrm {yy} } over m}}}}

c=52Ixx+Iyy−Izzm{displaystyle c={sqrt {{5 over 2}{I_{mathrm {xx} }+I_{mathrm {yy} }-I_{mathrm {zz} } over m}}}}

ρ=34mπabc{displaystyle rho ={frac {3}{4}}{m over pi abc}!}

线性变换

如果我们对球使用可逆的线性变换，便可以得到一个椭球；它可以用旋转的方法来化成以上标准的形式，这是谱定理的结果。如果该线性变换用一个对称的3乘3矩阵来表示的话，那么这个矩阵的特征向量就是正交的（根据谱定理），它表示了轴的方向：而半轴的长度则由特征值给出。

椭球与平面的交集是空集、一个点，或一个椭圆。

我们也可以利用经过线性变换的球来定义多维空间的椭球，并使用谱定理来得出一个标准方程。

鸡蛋形

鸡蛋的形状可以近似地认为是半个长球面与半个球在赤道处相拼合而成，共用一个旋转对称的主轴。^[2]虽然鸡蛋形通常意味着在赤道平面没有反射对称，它也可以用来指真正的长球面。它也可以用来描述相应的二维图形。参见鸡蛋形。

参考文献

参见

• 抛物面


• 双曲面


• 橢球坐標系


• 類球面

外部連結

• 椭球的Javascript 维模型