等比数列
等比数列，又称几何数列。是一种特殊数列。它的特点是：从第二项起，每一项与前一项的比都是一个常数。
例如數列
2,4,8,16,32,⋯,2n,2n+1,⋯{displaystyle 2,4,8,16,32,cdots ,2^{n},2^{n+1},cdots }。
这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2{displaystyle 2}，2198{displaystyle 2^{198}}与2197{displaystyle 2^{197}}的比也等于2{displaystyle 2}。如2{displaystyle 2}这样后一项与前一项的比称公比，符号为r。
目录
1 公式
1.1 等比公式
1.2 通项公式
1.3 求和公式
1.4 當-1<q<1時，等比數列無限項之和
2 性质
3 参见
公式
等比公式
根据等比数列的定义可得：
- q=anan−1(n≥2){displaystyle q={frac {a_{n}}{a_{n-1}}}left(ngeq 2right)}
通项公式
可以任意定义一个等比数列{an}{displaystyle left{a_{n}right}}，
这个等比数列从第一项起分别是a1,a2,a3,⋯,an,⋯{displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},cdots ,a_{n},cdots }，公比为q{displaystyle q}，则有：
- a2=a1q{displaystyle a_{2}=a_{1}q}
- a3=a2q=a1q2{displaystyle a_{3}=a_{2}q=a_{1}q^{2}}
- a4=a3q=a1q3{displaystyle a_{4}=a_{3}q=a_{1}q^{3}}
- ⋮{displaystyle qquad quad vdots }
以此可推得，等比数列{an}{displaystyle left{a_{n}right}}的通项公式为：
- an=an−1q=a1qn−1{displaystyle a_{n}=a_{n-1}q=a_{1}q^{n-1}}
求和公式
对上所定义的等比数列a1,a2,a3,⋯,an,⋯{displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},cdots ,a_{n},cdots }的所有项累加。
a1+a2+a3+⋯+an+⋯{displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots +a_{n}+cdots }称为等比数列的和或等比级数，记为Sn{displaystyle S_{n}}。
如果该等比数列的公比为q{displaystyle q}，则有：
- Sn=a1+a2+a3+⋯+an{displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots +a_{n}}
=a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−1{displaystyle quad =a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+cdots +a_{1}q^{n-1}}（利用等比数列通项公式）……(1)
先将两边同乘以公比q，有：
qSn=a1q+a1q2+⋯+a1qn{displaystyle qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+cdots +a_{1}q^{n}}……(2)
(1)式减去(2)式，有：
(1−q)Sn=a1−a1qn{displaystyle (1-q)S_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}}……(3)
然后进行讨论：当q≠1{displaystyle qneq 1}时，Sn=a11−qn1−q{displaystyle S_{n}=a_{1}{frac {1-q^{n}}{1-q}}}；而当q=1{displaystyle q=1}时，由(3)式无法解得通项公式。
但可以发现，此时：
- Sn=a1+a2+a3+⋯+an{displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots +a_{n}}
- =a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−1{displaystyle quad =a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+cdots +a_{1}q^{n-1}}
- =a1+a1+a1+⋯+a1{displaystyle quad =a_{1}+a_{1}+a_{1}+cdots +a_{1}}
- =na1{displaystyle quad =na_{1}}
综上所述，等比数列{an}{displaystyle left{a_{n}right}}的求和公式为：
- Sn={a1−a1qn1−qq≠1na1q=1{displaystyle S_{n}={begin{cases}{frac {a_{1}-a_{1}q^{n}}{1-q}}&qneq 1\na_{1}&q=1end{cases}}}
经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1{displaystyle qneq 1}时，
- Sn=a1(1−qn)1−q=a1qn−a1q−1{displaystyle {{S}_{n}}={frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}={frac {a_{1}q^{n}-a_{1}}{q-1}}}
當-1<q<1時，等比數列無限項之和
由於當−1<q<1{displaystyle -1<q<1}及n{displaystyle n}的值不斷增加時，qn{displaystyle q^{n}}的值便會不斷減少而且趨於0{displaystyle 0}，因此無限項之和為：
- S=limn→∞Sn=limn→∞a1−a1qn1−q=a11−q{displaystyle S=lim _{nrightarrow infty }S_{n}=lim _{nrightarrow infty }{frac {a_{1}-a_{1}q^{n}}{1-q}}={frac {a_{1}}{1-q}}}
性质
如果数列{an}{displaystyle left{a_{n}right}}是等比数列，那么有以下几个性质：
- an=amqn−m(m,n∈N,n>m){displaystyle a_{n}=a_{m}q^{n-m}(m,nin mathbb {N} ,n>m)}
- 证明：当m,n∈N,n>m{displaystyle m,nin mathbb {N} ,n>m}时，amqn−m=a1qm−1qn−m=a1qn−1=an{displaystyle a_{m}q^{n-m}=a_{1}q^{m-1}q^{n-m}=a_{1}q^{n-1}=a_{n}}
- 对于m,n,s,t∈N{displaystyle m,n,s,tin mathbb {N} }，若m+n=s+t{displaystyle m+n=s+t}，则aman=asat{displaystyle a_{m}a_{n}=a_{s}a_{t}}。
- 证明：aman=a1qm−1⋅a1qn−1=a1⋅a1⋅qn+m−2{displaystyle a_{m}a_{n}=a_{1}q^{m-1}cdot a_{1}q^{n-1}=a_{1}cdot a_{1}cdot q^{n+m-2}}
- ∵m+n=s+t{displaystyle because m+n=s+t}
- ∴aman=a1⋅a1⋅qs+t−2=a1qs−1⋅a1qt−1=asat{displaystyle therefore a_{m}a_{n}=a_{1}cdot a_{1}cdot q^{s+t-2}=a_{1}q^{s-1}cdot a_{1}q^{t-1}=a_{s}a_{t}}
- 等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列{an}{displaystyle left{a_{n}right}}中有三项ai,aj,ak{displaystyle a_{i},a_{j},a_{k}}，其中j−i=k−j≥1{displaystyle j-i=k-jgeq 1}，则有aj2=aiak{displaystyle a_{j}^{2}=a_{i}a_{k}}。
- 在原等比数列中，每隔k{displaystyle k}项(k∈N){displaystyle (kin mathbb {N} )}取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。
- 若a1,a2,a3,a4,a5,a6⋯{displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6}cdots }成等比数列，則a1a2,a3a4,a5a6⋯{displaystyle a_{1}a_{2},a_{3}a_{4},a_{5}a_{6}cdots }也成等比数列。
参见
- 等差数列
- 级数
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