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橢圓的半長軸。

半長軸是幾何學中的名詞，用來描述橢圓和雙曲線的維度。与之对应的就是長軸，半長軸为長軸的一半，一般描述橢圓的最長的直徑。

橢圓

一個橢圓的長軸是內部最長的直徑，他會通過中心和兩個焦點，末端結束於型狀最寬處的點。半長軸是長軸的一半，始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在圓型的特殊狀況下，半長軸就是半徑。

半長軸的長度a{displaystyle a!}與半短軸b{displaystyle b,!}的關係可以經由離心率e{displaystyle e,!}和半正焦弦ℓ{displaystyle ell ,!}推導如下：

b=a1−e2{displaystyle b=a{sqrt {1-e^{2}}},!}

ℓ=a(1−e2){displaystyle ell =a(1-e^{2}),!}.

aℓ=b2{displaystyle aell =b^{2},!}.

抛物線可以被視為是橢圓的極限，將一個焦點固定，而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上，但ℓ{displaystyle ell ,!}仍保持不變。因此a{displaystyle a,!}和b{displaystyle b,!}趨於無限大，a{displaystyle a,!}仍比b{displaystyle b,!}長。

半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式，其中一個焦點位於原點，另一個焦點在x軸上，

r(1−ecos⁡θ)=l{displaystyle r(1-ecos theta )=l,!}.

均值由r=ℓ1+e{displaystyle r={ell over {1+e}},!}和r=ℓ1−e{displaystyle r={ell over {1-e}},!}，是 a=ℓ1−e2{displaystyle a={ell over {1-e^{2}}},!}.

雙曲線（又称半实轴）

雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果a是在X-軸的方向上，則方程式可以表示為：

(x−h)2a2−(y−k)2b2=1{displaystyle {frac {left(x-hright)^{2}}{a^{2}}}-{frac {left(y-kright)^{2}}{b^{2}}}=1}

在這個項目中的半正焦弦和離心率如下：

a=ℓe2−1{displaystyle a={ell over e^{2}-1}}

雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致^[1]。

天文學

軌道週期

在太空動力學，以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期T{displaystyle T}，是：

T=2πa3/μ{displaystyle T=2pi {sqrt {a^{3}/mu }}}

此處：

a{displaystyle a}，是軌道的半長軸

μ{displaystyle mu }是標準重力參數

無論離心率是如何，半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期。

在天文學，是軌道的軌道元素中最重要的，他決定了軌道週期。對太陽系內的天體，半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律（原本只是經驗公式）來描述：

T2=a3{displaystyle T^{2}=a^{3}}，

此處T是週期，單位為年；a是半長軸，單位為AU。這個形式就是牛頓的二體問題簡化後的形式：

T2=4π2G(M+m)a3{displaystyle T^{2}={frac {4pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}}，

此處G是重力常數，M是中心天體的質量，而m是軌道上天體的質量。通常，當中心天體的值量遠大於環繞的天體時，m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後，克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。

值得注意的是，在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離，因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059，地心的月球軌道半長軸是384,400公里；另一方面，"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里，兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，兩者之和是1.022公里/秒；同樣的，以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。

平均距離

經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離，其實這樣說是不夠精確的，這與如何取得平均值有關。

• 對偏近點角（q.v.）的平均距離的確就是半長軸。


• 對真近點角（從焦點上測量的真實軌道角度）的結果，說也奇怪，是軌道半短軸：b=a1−e2{displaystyle b=a{sqrt {1-e^{2}}},!}。

• 最後，是對平近點角（以角度表示，經過近心點之後所經歷軌道週期的分數），是對時間的平均數（通常是對門外漢所謂的"平均"）：a(1+e22){displaystyle a(1+{frac {e^{2}}{2}}),!}。

橢圓的平均半徑，是以幾何上的中心來測量的，其值為ab=a1−e24{displaystyle {sqrt {ab}}=a{sqrt[{4}]{1-e^{2}}},!}。

時間的平均值與半徑成反比，r−1{displaystyle r^{-1},!}，是a−1{displaystyle a^{-1},!}。

能量：由狀態向量的半長軸計算

在太空動力學半長軸a{displaystyle a}，可以從軌道狀態向量得到：

a=−μ2ϵ{displaystyle a={-mu over {2epsilon }}}，（橢圓軌道）

和

a=μ2ϵ{displaystyle a={mu over {2epsilon }}}，（雙曲線彈道）

和

ϵ=v22−μ|r|{displaystyle epsilon ={v^{2} over {2}}-{mu over left|mathbf {r} right|}}(特殊軌道能量）

和

μ=GM{displaystyle mu =GM}，（標準重力參數），

此處：

• 
  v{displaystyle v}，是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度，


• 
  r{displaystyle mathbf {r} }，是在迪卡兒的參考座標系上相對於位置向量用於計算的軌道元素（即，對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準，或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準)，


• 
  G{displaystyle G}，是重力常數，


• 
  M{displaystyle M}，是中心天體的質量。

要注意的是，對特定的中心天體和總比能，無論離心率是多少，半長軸是一個定值。換言之，對特定的一個中心天體和半長軸，則具有的總比能是一定的。

例子

國際太空站（ International Space Station，ISS）的軌道週期是91.74分，它的軌道半長軸是6,738公里[1] 。Every minute more corresponds to ca. 50 km more: the extra 300 km of orbit length takes 40 seconds, the lower speed accounts for an additional 20 seconds.

外部連結

• 
  Semi-major and semi-minor axes of an ellipse With interactive animation

參考資料

查 论 编 軌道   類型 一般 盒狀 · 捕獲軌道 · 圓軌道 · 橢圓軌道 · 高橢圓軌道 · 逃逸軌道 · 死亡軌道 · 雙曲線彈道 · 傾斜軌道 · 無傾斜軌道 · 吻切軌道 · 拋物線彈道 · 泊接軌道 · 同步軌道（半同步軌道 · 次同步軌道） 地心 地球轨道 · 地球同步軌道 · 地球同步轉移軌道 · 地球靜止軌道 · 太陽同步軌道 · 低地球軌道 · 中地球軌道 · 闪电轨道 · 近赤道軌道 · 月球軌道 · 极轨道 其他 火星同步軌道 · 火星靜止軌道 · 暈軌道 · 利薩如軌道 · 月心軌道 · 日心軌道 · 太陽同步軌道   參數 傳統 i{displaystyle i,!} 軌道傾角 · Ω{displaystyle Omega ,!} 升交點黃經 · e{displaystyle e,!} 離心率 · ω{displaystyle omega ,!} 近心點角 · a{displaystyle a,!} 半長軸 · Mo{displaystyle M_{o},!} 曆元的平近點角 其他 v{displaystyle v,} 真近點角 · b{displaystyle b,} 半短軸 · ϵ{displaystyle epsilon ,} 偏心距 · E{displaystyle E,} 偏近點角 · L{displaystyle L,} 平黃經 · l{displaystyle l,} 真黃經 · T{displaystyle T,} 軌道週期   軌道操縱 雙橢圓轉移軌道 · 對地靜止轉移軌道 · 重力助推 · 霍曼轉移軌道 · 軌道傾角改變 · 軌道定相 · 太空會合   航天動力學相關條目 拱點 · 天球座標系統 · Delta-v預算 · 曆元 · 曆書時 · 赤道座標系統 · 重力轉向 · 地面追蹤 · 行星際傳輸網路 · 克卜勒行星運動定律 · 拉格朗日點 · 多體問題 · 轨道速度 · 軌道效應 · 軌道方程式 · 軌道狀態向量 · 攝動 · 順行和逆行 · 比較軌道能量 · 比較相對角動量 軌道列表