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正五角星
一顆正五角星
類型	星形正多邊形
邊	5
頂點	5
施萊夫利符號	{5/2}
考克斯特圖（英语：Coxeter diagram）
對稱群	二面體 (D5)
內角（度）	36°
對偶	自身對偶
特性	star, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

一顆五角星

五角星，又稱五芒星，是指一種有五隻尖角、並以五條等長直線畫成的星星圖形。英文「五角星」（pentagram）一詞出於希臘語「πεντάγραμμος」（pentagrammos）或「πεντέγραμμος」（pentegrammos）的名詞形式「πεντάγραμμον」（pentagrammon），原意大概是「五條直線的」或「五條線」；而中文「五角星」的意義則顯而易見，指有五隻角的星形。然而，中文「五角星」不一定指本文所談論的「標準」五角星，有時亦泛指所有有五隻角的星形物。

本文以下所讨论的五角星是指「標準」五角星，即正五角星。

几何

含有黄金分割的正五边形

五角星是边数最少的星形多邊形。最简单画它的方法是先画一个正五边形，把各角和其對角用直线相连，并擦去原来的五边形。也可以延长原五边形的各边直到它们相交，从而得到一个大的五角星。

黄金分割比（golden ratio），φ=1+52=1.618⋯{displaystyle varphi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}=1.618cdots }，满足：

φ=1+2sin⁡π10=1+2sin⁡18∘{displaystyle varphi =1+2sin {frac {pi }{10}}=1+2sin 18^{circ },}

φ=12sin⁡π10=12sin⁡18∘{displaystyle varphi ={frac {1}{2sin {frac {pi }{10}}}}={frac {1}{2sin 18^{circ }}},}

φ=2cos⁡π5=2cos⁡36∘{displaystyle varphi =2cos {frac {pi }{5}}=2cos 36^{circ },}

在正五边形和五角星中扮演一个重要的角色。每条边都被分割成几段小的线段，如果用一对线段中较长线段的长度除以较短线段的长度将得到φ{displaystyle varphi }。

大五边形的一条边与一条蓝色线段等长，同样的小五角星的一条对角线与一条绿色线段等长。

如果线段有长度（线条），那图中就有两个相似的正五边形。“线段”怎样，线条就怎样，并且它们的交点也可能变化。例如，在摩洛哥的国旗上，绿色五角星有一个黑色的外轮廓，它不“穿过”相交的线条。这跟埃塞俄比亚国旗上五角星中的完全黄色和没有外轮廓，是不一样的。

一些相关几何值

sin⁡π10=sin⁡18∘=5−14=φ−12=12φ{displaystyle sin {frac {pi }{10}}=sin 18^{circ }={frac {{sqrt {5}}-1}{4}}={frac {varphi -1}{2}}={frac {1}{2varphi }}}

cos⁡π10=cos⁡18∘=2(5+5)4{displaystyle cos {frac {pi }{10}}=cos 18^{circ }={frac {sqrt {2(5+{sqrt {5}})}}{4}}}

tan⁡π10=tan⁡18∘=5(5−25)5{displaystyle tan {frac {pi }{10}}=tan 18^{circ }={frac {sqrt {5(5-2{sqrt {5}})}}{5}}}

cot⁡π10=cot⁡18∘=5+25{displaystyle cot {frac {pi }{10}}=cot 18^{circ }={sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}

sin⁡π5=sin⁡36∘=2(5−5)4{displaystyle sin {frac {pi }{5}}=sin 36^{circ }={frac {sqrt {2(5-{sqrt {5}})}}{4}}}

cos⁡π5=cos⁡36∘=5+14=φ2{displaystyle cos {frac {pi }{5}}=cos 36^{circ }={frac {{sqrt {5}}+1}{4}}={frac {varphi }{2}}}

tan⁡π5=tan⁡36∘=5−25{displaystyle tan {frac {pi }{5}}=tan 36^{circ }={sqrt {5-2{sqrt {5}}}}}

cot⁡π5=cot⁡36∘=5(5+25)5{displaystyle cot {frac {pi }{5}}=cot 36^{circ }={frac {sqrt {5(5+2{sqrt {5}})}}{5}}}

因此，在一个有一个或两个36°角的等腰三角形里，两边中较长边的长度，是较短边的ϕ{displaystyle phi }倍，无论是锐角三角形或者钝角三角形。

國旗上的五角星

摩洛哥國旗

埃塞俄比亞國旗

有许多國家的國旗設計都包含五角星：如智利、賴比瑞亞、埃塞俄比亞、摩洛哥、越南、朝鲜、中华人民共和国、美国等等。很多時候，五角星的中間被填滿，移除了五角形和五個等腰三角形之間的分界。Ivan Sache 指出，摩洛哥國旗上的五角星代表神和摩洛哥國之間的聯繫。^[1]

其他方面

晴明紋

• 五角星被很多国家的军队作为军官（尤其是高级军官）的军衔标志使用。


• 一直以來，五角星都與对金星和維納斯的崇拜有密切關係。造成這關係的各個可能原因中，最可信的是史前天文學家的觀察。由地球望去，圍著太陽的金星軌道每八年重覆一次。它自成的五個交叉點恰好畫出一個近乎完美的五角星。


• 在古希臘，五角星是大地女神科爾(Kore)的象徵。


• 在巴比倫，五角星被作為女神伊絲塔(Ishtar)的孿生姐姐冥界女神的符號。


• 在古埃及，五角星被作為冥界子宮的符號。


• 凱爾特人將五角星作為冥界女神摩根的象徵。


• 五角星是魔術的代表符號，是非猶太教徒的符號。初期基督教會亦有用五角星代表耶穌的五個傷口，但現在則多代表異教徒和撒但主義者。


• 五角星在魔法中是一種特別的圖形，用正的五角星作魔法陣是白魔法，用倒的五角星則是象徵黑魔法。


• 而在東方陰陽五行裡面，五行「相剋」的連線剛好是五角星。在日本，安倍晴明使用桔梗紋變形的五芒星，被稱為桔梗印，現在是晴明神社的神紋。


• 从最直观的方面看，五角星是最类似人形的多边形。


• 倒五芒星可以代表魔鬼(撒但)。

參考

1. 
   ^ Moroccan flag on Flagspot.net accessed on 10 February, 2006.
   

• 
  Libri tres de occulta philosophia (book III, chapter xxxi) by Heinrich Cornelius Agrippa
  


• 
  Le Imagini degli Dei degli Antichi by Vincenzo Cartari
  


• Hrant Arakelian. The History of the Pentagram, Chapter 6 in Mathematics and History of the Golden Section, pp. 207-270, Logos 2014, ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).

另见

• 红色五角星

外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：五角星

• 
  Pentagons & Pentagramsnew facts about pentagons and pentagrams by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas. Key concept: Menelaus Theorem.


• 
  The PentagramThe Pentagram and Religion


• 
  The Pythagorean Pentacle from the Biblioteca Arcana.


• 
  Miquel's Pentagram - Dynamic Geometry by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.


• Pentagram -- from MathWorld


• The Pythagorean Pentacle


• The pentagram as geometry


• The Pentagram by DMGould Ireland's Own Myths & Magic:


• The Pentagram and Freemasonry


• Pythagoreanism Web Site


• Signs of the Devil


• In-depth analysis of the Golden Ratio