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切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号T_n表示， 第二类切比雪夫多项式用U_n表示。切比雪夫多项式 T_n 或 U_n 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程

(1−x2)y″−xy′+n2y=0{displaystyle (1-x^{2}),y''-x,y'+n^{2},y=0}

和

(1−x2)y″−3xy′+n(n+2)y=0{displaystyle (1-x^{2}),y''-3x,y'+n(n+2),y=0}

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。

定义

第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

T0(x)=1{displaystyle T_{0}(x)=1,}

T1(x)=x{displaystyle T_{1}(x)=x,}

Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x).{displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).,}

也可以用母函数表示

∑n=0∞Tn(x)tn=1−tx1−2tx+t2.{displaystyle sum _{n=0}^{infty }T_{n}(x)t^{n}={frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

U0(x)=1{displaystyle U_{0}(x)=1,}

U1(x)=2x{displaystyle U_{1}(x)=2x,}

Un+1(x)=2xUn(x)−Un−1(x).{displaystyle U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).,}

此时母函数为

∑n=0∞Un(x)tn=11−2tx+t2.{displaystyle sum _{n=0}^{infty }U_{n}(x)t^{n}={frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.}

从三角函数定义

切比雪夫多项式

第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

Tn(cos⁡(θ))=cos⁡(nθ){displaystyle T_{n}(cos(theta ))=cos(ntheta ),}

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . cos⁡nθ{displaystyle cos ntheta ,} 是关于 cos⁡θ{displaystyle cos theta ,} 的 n次多项式，这个事实可以这么看： cos⁡nθ{displaystyle cos ntheta ,}是:(cos⁡θ+isin⁡θ)n=einθ=cos⁡(nθ)+isin⁡nθ{displaystyle (cos theta +isin theta )^{n}=e^{intheta }=cos(ntheta )+isin ntheta ,}的实部（参见棣莫弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含sin⁡θ{displaystyle sin theta ,}的项中，sin⁡θ{displaystyle sin theta ,}都是偶数次的，从而可以表示成 1−cos2⁡θ{displaystyle 1-cos ^{2}theta ,}的幂 。

用显式来表示

Tn(x)={cos⁡(narccos⁡(x)), x∈[−1,1]cosh⁡(narccosh(x)), x≥1(−1)ncosh⁡(narccosh(−x)), x≤−1{displaystyle T_{n}(x)={begin{cases}cos(narccos(x)),& xin [-1,1]\cosh(n,mathrm {arccosh} (x)),& xgeq 1\(-1)^{n}cosh(n,mathrm {arccosh} (-x)),& xleq -1\end{cases}}}

尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有

Tn(x)=cos⁡(narccos⁡(x))=cosh(narccosh(x)) ,∀x∈R.{displaystyle {begin{matrix}T_{n}(x)&=&cos(narccos(x))\&=&mathrm {cosh} (n,mathrm {arccosh} (x))end{matrix}} ,quad forall xin mathbb {R} .}

类似，第二类切比雪夫多项式满足

Un(cos⁡(θ))=sin⁡((n+1)θ)sin⁡θ.{displaystyle U_{n}(cos(theta ))={frac {sin((n+1)theta )}{sin theta }}.}

以佩尔方程定义

切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

Ti2−(x2−1)Ui−12=1{displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1,!}

在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

Ti+Ui−1x2−1=(x+x2−1)i.{displaystyle T_{i}+U_{i-1}{sqrt {x^{2}-1}}=(x+{sqrt {x^{2}-1}})^{i}.,!}

递归公式

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

T0(x)=1{displaystyle T_{0}(x)=1}

U−1(x)=1{displaystyle U_{-1}(x)=1}

Tn+1(x)=xTn(x)−(1−x2)Un−1(x){displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)}

Un(x)=xUn−1(x)+Tn(x){displaystyle U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)}

证明的方式是在下列三角关系式中用x{displaystyle x} 代替cos⁡ϑ{displaystyle cos vartheta }

Tn+1(x)=Tn+1(cos⁡ϑ)={displaystyle T_{n+1}(x)=T_{n+1}(cos vartheta )={}}cos⁡((n+1)ϑ)={displaystyle cos((n+1)vartheta )={}}cos⁡(nϑ)cos⁡ϑ−sin⁡(nϑ)sin⁡ϑ={displaystyle cos(nvartheta )cos vartheta -sin(nvartheta )sin vartheta ={}}Tn(cos⁡ϑ)cos⁡ϑ−Un−1(cos⁡ϑ)sin2⁡ϑ={displaystyle T_{n}(cos vartheta )cos vartheta -U_{n-1}(cos vartheta )sin ^{2}vartheta ={}}xTn(x)−(1−x2)Un−1(x){displaystyle xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)}

正交性

T_n 和U_n 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

11−x2,{displaystyle {frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}},}

即:

∫−11Tn(x)Tm(x)dx1−x2={0:n≠m     π:n=m=0π/2:n=m≠0{displaystyle int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x),{frac {dx}{sqrt {1-x^{2}}}}=left{{begin{matrix}0&:nneq m~~~~~\pi &:n=m=0\pi /2&:n=mneq 0end{matrix}}right.}

可先令x= cos(θ) 利用
T_n (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地，第二类切比雪夫多项式带权

1−x2{displaystyle {sqrt {1-x^{2}}}}

即:

∫−11Un(x)Um(x)1−x2dx={0:n≠mπ/2:n=m{displaystyle int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){sqrt {1-x^{2}}},dx={begin{cases}0&:nneq m\pi /2&:n=mend{cases}}}

其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

基本性质

对每个非负整数n{displaystyle n}， Tn(x){displaystyle T_{n}(x)} 和 Un(x){displaystyle U_{n}(x)} 都为 n{displaystyle n}次多项式。
并且当n{displaystyle n}为偶（奇）数时，它们是关于x{displaystyle x} 的偶（奇）函数， 在写成关于x{displaystyle x}的多项式时只有偶（奇）次项。

n≥1{displaystyle ngeq 1}时，Tn{displaystyle T_{n}} 的最高次项系数为 2n−1{displaystyle 2^{n-1}} ，n=0{displaystyle n=0}时系数为1{displaystyle 1} 。

最小零偏差

对n≥1{displaystyle ngeq 1}，在所有最高次项系数为1的n{displaystyle n}次多项式中 ， f(x)=12n−1Tn(x){displaystyle f(x)={frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)} 对零的偏差最小，即它是使得f(x){displaystyle f(x)}在[−1,1]{displaystyle [-1,1]} 上绝对值的最大值最小的多项式。
其绝对值的最大值为12n−1{displaystyle {frac {1}{2^{n-1}}}} ， 分别在−1{displaystyle -1} 、 1{displaystyle 1} 及 f{displaystyle f} 的其他 n−1{displaystyle n-1} 个极值点上达到 。

两类切比雪夫多项式间的关系

两类切比雪夫多项式间还有如下关系：

ddxTn(x)=nUn−1(x) , n=1,…{displaystyle {frac {d}{dx}},T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){mbox{ , }}n=1,ldots }

Tn(x)=12(Un(x)−Un−2(x)).{displaystyle T_{n}(x)={frac {1}{2}}(U_{n}(x)-,U_{n-2}(x)).}

Tn+1(x)=xTn(x)−(1−x2)Un−1(x){displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x),}

Tn(x)=Un(x)−xUn−1(x).{displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x,U_{n-1}(x).}

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.

切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：

2Tn(x)=1n+1ddxTn+1(x)−1n−1ddxTn−1(x) , n=1,2,…{displaystyle 2T_{n}(x)={frac {1}{n+1}};{frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{frac {1}{n-1}};{frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){mbox{ , }}quad n=1,2,ldots }

例子

前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ T₅.

前几个第一类切比雪夫多项式是

T0(x)=1{displaystyle T_{0}(x)=1,}

T1(x)=x{displaystyle T_{1}(x)=x,}

T2(x)=2x2−1{displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1,}

T3(x)=4x3−3x{displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x,}

T4(x)=8x4−8x2+1{displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1,}

T5(x)=16x5−20x3+5x{displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x,}

T6(x)=32x6−48x4+18x2−1{displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1,}

T7(x)=64x7−112x5+56x3−7x{displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x,}

T8(x)=128x8−256x6+160x4−32x2+1{displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1,}

T9(x)=256x9−576x7+432x5−120x3+9x.{displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.,}

前六个第二类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ U₅. 虽然图像中无法显示,我们实际有 U_n(1)=n+1 以及 U_n(-1)=(n+1)(-1)ⁿ.

前几个第二类切比雪夫多项式是

U0(x)=1{displaystyle U_{0}(x)=1,}

U1(x)=2x{displaystyle U_{1}(x)=2x,}

U2(x)=4x2−1{displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1,}

U3(x)=8x3−4x{displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x,}

U4(x)=16x4−12x2+1{displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1,}

U5(x)=32x5−32x3+6x{displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x,}

U6(x)=64x6−80x4+24x2−1.{displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1.,}

第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

Tn′(1)=n2{displaystyle T_{n}'(1)=n^{2},}

Tn′(−1)=−(−1)n∗n2{displaystyle T_{n}'(-1)=-(-1)^{n}*n^{2},}

Tn″(1)=(n4−n2)/3{displaystyle T_{n}''(1)=(n^{4}-n^{2})/3,}

Tn″(−1)=(−1)n∗(n4−n2)/3{displaystyle T_{n}''(-1)=(-1)^{n}*(n^{4}-n^{2})/3,}

按切比雪夫多项式的展开式

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

p(x)=∑n=0NanTn(x){displaystyle p(x)=sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)}

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

切比雪夫根

两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 切比雪夫节点（英语：Chebyshev nodes） ，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出T_n 的n个根分别是：

xi=cos⁡(2i−12nπ) , i=1,…,n.{displaystyle x_{i}=cos left({frac {2i-1}{2n}}pi right){mbox{ , }}i=1,ldots ,n.}

类似地， U_n 的n个根分别是：

xi=cos⁡(in+1π) , i=1,…,n.{displaystyle x_{i}=cos left({frac {i}{n+1}}pi right){mbox{ , }}i=1,ldots ,n.}

参看

• 切比雪夫节点（英语：Chebyshev nodes）


• 切比雪夫滤波器

参考

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.