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除以0時計算器的錯誤

在數學中，被除數的除數（分母）是零或將某數除以零，可表達為a0{displaystyle {frac {a}{0}}}，a{displaystyle a}是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有數目，以零相乘（假設a≠0{displaystyle aneq 0}），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中，此式為無意義。在程序設計中，當遇上正整數除以零程序會中止，正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況，而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中，除以零會直接顯示#DIV/0!
。

基本算術

基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如，10{displaystyle 10}個蘋果平分給5{displaystyle 5}人，每人可得105=2{displaystyle {frac {10}{5}}=2}個蘋果。同理，10{displaystyle 10}個蘋果只分給1{displaystyle 1}人，則其可獨得101=10{displaystyle {frac {10}{1}}=10}個蘋果。

若除以0{displaystyle 0}又如何？若有10{displaystyle 10}顆蘋果，無人（0解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此，100{displaystyle {frac {10}{0}}}，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「13{displaystyle 13}除以5{displaystyle 5}」，換一種說法，13{displaystyle 13}減去兩個5{displaystyle 5}，餘下3{displaystyle 3}，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為135=2{displaystyle {frac {13}{5}}=2}餘數3{displaystyle 3}。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。
此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。

早期嘗試

婆羅摩笈多（598–668年）的著作《Brahmasphutasiddhanta（英语：Brahmasphutasiddhanta）》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多，

830年，摩訶吠羅（英语：Mahāvīra (mathematician)）在其著作《Ganita Sara Samgraha》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

婆什迦羅第二嘗試解決此問題，設n0=∞{displaystyle {frac {n}{0}}=infty }，雖然此定義有一定道理，但會導致一个悖論：0×∞{displaystyle 0times infty }的结果可以是任意一个数，那么就会得出所有的数都相同的错误结论。^[1]

安卓手機計算器除以0顯示無限大

代數處理

若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即ab{displaystyle {frac {a}{b}}}值是方程bx=a{displaystyle bx=a}中x{displaystyle x}的解（若有的話）。若設b=0{displaystyle b=0}，方程式bx=a{displaystyle bx=a}可寫成0×x=a{displaystyle 0times x=a}或直接0=a{displaystyle 0=a}。因此，方程式bx=a{displaystyle bx=a}沒有解（当a≠0{displaystyle aneq 0}时），但x{displaystyle x}是任何數值也可解此方程（当a=0{displaystyle a=0}时）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以ab{displaystyle {frac {a}{b}}}未能下定義。

除以零的謬誤

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：2=1{displaystyle 2=1}
由：

0×1=0{displaystyle 0times 1=0}

0×2=0{displaystyle 0times 2=0}

得出：

0×1=0×2{displaystyle 0times 1=0times 2}

除以零得出

00×1=2{displaystyle {frac {0}{0}}times 1=2}

簡化，得出：

1=2{displaystyle 1=2,}

以上謬論假設，就是某數除以0是容許的並且00=1{displaystyle {frac {0}{0}}=1}。另一个简洁的证明

設a=b{displaystyle a=b}，則 a2=ab{displaystyle a^{2}=ab} 兩邊同時减去b2{displaystyle b^{2}}，由平方差公式得 (a+b)(a−b)=b(a−b){displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)} 兩邊除以(a−b){displaystyle (a-b)}， a+b=b{displaystyle a+b=b} 故a=0{displaystyle a=0}。

通过上面的過程，能够证明一切数字等于0{displaystyle 0}。但是因为不能够除以0{displaystyle 0}（a−b=0{displaystyle a-b=0}），所以这个毁灭数字的过程不正常。

虛假的除法

在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設ab=ab+{displaystyle {frac {a}{b}}=ab^{+}}，當中b+{displaystyle b^{+}}代表b{displaystyle b}的虛構倒數。這樣，若b−{displaystyle b^{-}}存在，則b+=b−{displaystyle b^{+}=b^{-}}。若b=0{displaystyle b=0}，則0+=0{displaystyle 0^{+}=0}；參見广义逆。

數學分析

函數y=1x{displaystyle y={frac {1}{x}}}。當x{displaystyle x}趨向0{displaystyle 0}，y{displaystyle y}趨向∞{displaystyle infty }（反之亦然）

扩展的实数轴

表面看來，可以藉着考慮隨着b{displaystyle b}趨向0{displaystyle 0}的ab{displaystyle {frac {a}{b}}}極限而定義a0{displaystyle {frac {a}{0}}}。對於任何正數a{displaystyle a}，

limb→0+ab=+∞{displaystyle lim _{bto 0^{+}}{a over b}={+}infty }

而對於任何負數a{displaystyle a}，

limb→0+ab=−∞{displaystyle lim _{bto 0^{+}}{a over b}={-}infty }

所以，對於正數a{displaystyle a}，a0{displaystyle {frac {a}{0}}}可被定義為∞{displaystyle infty }，而對於負數a{displaystyle a}則可定義為−∞{displaystyle -infty }。不過，某數也可以由負數一方（左面）趨向零，這様，對於正數a{displaystyle a}，a0{displaystyle {frac {a}{0}}}定義為−∞{displaystyle -infty }，對於負數a{displaystyle a}，a0{displaystyle {frac {a}{0}}}定義為+∞{displaystyle +infty }。由此可得（假設實數的基本性質可應用在極限上）：

+∞=10=1−0=−10=−∞{displaystyle +infty ={frac {1}{0}}={frac {1}{-0}}=-{frac {1}{0}}=-infty }

最終變成 +∞=−∞{displaystyle +infty =-infty }，與在扩展的实数轴上對極限賦予的標準定義不相符。唯一的辦法是用沒有正負號的無限，參見下面。

另外，利用極限的比無為00{displaystyle {frac {0}{0}}}提供解釋：

lim(a,b)→(0,0)ab{displaystyle lim _{(a,b)to (0,0)}{a over b}}

並不存在，而

limx→0f(x)g(x){displaystyle lim _{xto 0}{f(x) over g(x)}}

若隨着x{displaystyle x}趨向0{displaystyle 0}，f(x){displaystyle f(x)}與g(x){displaystyle g(x)}均趨向0{displaystyle 0}，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎f{displaystyle f}及g{displaystyle g}是何函數（參閱洛必達法則）。由此，00{displaystyle {frac {0}{0}}}難以被定義為一極限。

形式推算

運用形式推算（formal calculation），正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

黎曼球

集合C∪{∞}{displaystyle mathbb {C} cup {infty }}為黎曼球（Riemann sphere），在複分析中相當重要。

注釋

參考

• 
  Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

• Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).

• 
  Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

延伸閱讀

• Jakub Czajko (July 2004) "On Cantorian spacetime over number systems with division by zero ", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.

维基新闻相关報導：
British computer scientist's new "nullity" idea provokes reaction from mathematicians

• 
  Ben Goldacre. Maths Professor Divides By Zero, Says BBC. 2006-12-07. 
  

參見

• 漸近線


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• 引力奇點