Why can we treat MGF in this way












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For the standard proof that if $Z sim N(0,1)$ than $Z^{2} sim chi^{2}_{1}$



We write



$$M_{Z^{2}}(t)=int_{mathbb{R}}exp(tz^{2})frac{1}{sqrt{2pi}}exp(frac{-z^{2}}{2}) dz$$



That is , we use the standard normal density to compute the moment generating function.



Why do we not need to use the density of $Z^{2}$ and instead are able to use the density of just $Z$, I assume because it is a continuous one to one function?






mgf







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    For the standard proof that if $Z sim N(0,1)$ than $Z^{2} sim chi^{2}_{1}$



    We write



    $$M_{Z^{2}}(t)=int_{mathbb{R}}exp(tz^{2})frac{1}{sqrt{2pi}}exp(frac{-z^{2}}{2}) dz$$



    That is , we use the standard normal density to compute the moment generating function.



    Why do we not need to use the density of $Z^{2}$ and instead are able to use the density of just $Z$, I assume because it is a continuous one to one function?






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      For the standard proof that if $Z sim N(0,1)$ than $Z^{2} sim chi^{2}_{1}$



      We write



      $$M_{Z^{2}}(t)=int_{mathbb{R}}exp(tz^{2})frac{1}{sqrt{2pi}}exp(frac{-z^{2}}{2}) dz$$



      That is , we use the standard normal density to compute the moment generating function.



      Why do we not need to use the density of $Z^{2}$ and instead are able to use the density of just $Z$, I assume because it is a continuous one to one function?






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      For the standard proof that if $Z sim N(0,1)$ than $Z^{2} sim chi^{2}_{1}$



      We write



      $$M_{Z^{2}}(t)=int_{mathbb{R}}exp(tz^{2})frac{1}{sqrt{2pi}}exp(frac{-z^{2}}{2}) dz$$



      That is , we use the standard normal density to compute the moment generating function.



      Why do we not need to use the density of $Z^{2}$ and instead are able to use the density of just $Z$, I assume because it is a continuous one to one function?






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          In principle, you don't know the density of $Z$, so you can't use it.



          What's being done when you use the density of $X$ is an application of the law of the unconscious statistician.






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            StackExchange.ifUsing("editor", function () {
            return StackExchange.using("mathjaxEditing", function () {
            StackExchange.MarkdownEditor.creationCallbacks.add(function (editor, postfix) {
            StackExchange.mathjaxEditing.prepareWmdForMathJax(editor, postfix, [["$", "$"], ["\\(","\\)"]]);
            });
            });
            }, "mathjax-editing");

            StackExchange.ready(function() {
            var channelOptions = {
            tags: "".split(" "),
            id: "65"
            };
            initTagRenderer("".split(" "), "".split(" "), channelOptions);

            StackExchange.using("externalEditor", function() {
            // Have to fire editor after snippets, if snippets enabled
            if (StackExchange.settings.snippets.snippetsEnabled) {
            StackExchange.using("snippets", function() {
            createEditor();
            });
            }
            else {
            createEditor();
            }
            });

            function createEditor() {
            StackExchange.prepareEditor({
            heartbeatType: 'answer',
            autoActivateHeartbeat: false,
            convertImagesToLinks: false,
            noModals: true,
            showLowRepImageUploadWarning: true,
            reputationToPostImages: null,
            bindNavPrevention: true,
            postfix: "",
            imageUploader: {
            brandingHtml: "Powered by u003ca class="icon-imgur-white" href="https://imgur.com/"u003eu003c/au003e",
            contentPolicyHtml: "User contributions licensed under u003ca href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"u003ecc by-sa 3.0 with attribution requiredu003c/au003e u003ca href="https://stackoverflow.com/legal/content-policy"u003e(content policy)u003c/au003e",
            allowUrls: true
            },
            onDemand: true,
            discardSelector: ".discard-answer"
            ,immediatelyShowMarkdownHelp:true
            });


            }
            });














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            StackExchange.ready(
            function () {
            StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fstats.stackexchange.com%2fquestions%2f391679%2fwhy-can-we-treat-mgf-in-this-way%23new-answer', 'question_page');
            }
            );

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            In principle, you don't know the density of $Z$, so you can't use it.



            What's being done when you use the density of $X$ is an application of the law of the unconscious statistician.






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              In principle, you don't know the density of $Z$, so you can't use it.



              What's being done when you use the density of $X$ is an application of the law of the unconscious statistician.






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                In principle, you don't know the density of $Z$, so you can't use it.



                What's being done when you use the density of $X$ is an application of the law of the unconscious statistician.






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                In principle, you don't know the density of $Z$, so you can't use it.



                What's being done when you use the density of $X$ is an application of the law of the unconscious statistician.







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                Lucas FariasLucas Farias

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                    StackExchange.ready(
                    function () {
                    StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fstats.stackexchange.com%2fquestions%2f391679%2fwhy-can-we-treat-mgf-in-this-way%23new-answer', 'question_page');
                    }
                    );

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