平方







y=x2{displaystyle y=x^{2}}


代数中,一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积,一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积,记作x2。平方也可視為求指數为2的幂的值。若x是正实数,这个乘积相当于一个边长为x的正方形的面积;如果x为虚数,则这个乘积为负数。如果x为非虛數的复数,则这个乘积也是复数。


如果实数y = x2,就说yx的平方;如果同時x是非负数,那么x就是y的平方根。如果一个整数 n{displaystyle n} 是某个整数的平方,则称 n{displaystyle n} 为一个完全平方数或平方数。有理数的平方一定是有理数,无理数的平方可以是有理数,也可以是无理数。



平方和


平方和通常指一些正整数的平方之和,整数的个数可以是有限个,也可以是无限多。
正整数的平方和公式如下:


12+22+32+42+52+62+...+n2=n(n+1)(2n+1)6{displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+...+n^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}



证明


用数学归纳法证明如下:




n=1{displaystyle n=1}時,12=1×36=1{displaystyle 1^{2}={frac {1times 2times 3}{6}}=1}成立


n=2{displaystyle n=2}時,12+22=2×56=5{displaystyle 1^{2}+2^{2}={frac {2times 3times 5}{6}}=5}成立

n=k{displaystyle n=k}時成立,即12+22+32+....+k2=k(k+1)(2k+1)6{displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}={frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}}成立

n=k+1{displaystyle n=k+1}時,

12+22+32+....+k2+(k+1)2{displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+....+k^{2}+(k+1)^{2}}

=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2{displaystyle ={frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}}

=(k+1)(2k2+k)6+6(k+1)26{displaystyle ={frac {(k+1)(2k^{2}+k)}{6}}+{frac {6(k+1)^{2}}{6}}}

=(k+1)[(2k2+k)+6(k+1)]6{displaystyle ={frac {(k+1)[(2k^{2}+k)+6(k+1)]}{6}}}

=(k+1)(2k2+7k+6))6{displaystyle ={frac {(k+1)(2k^{2}+7k+6))}{6}}}

=(k+1)(k+2)(2k+3)6{displaystyle ={frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}}

=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6{displaystyle ={frac {(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}}}

n=k+1{displaystyle n=k+1}時亦成立,原式得證。


也可以用组合数公式来推导这个公式。


平方和也可以指:a2+b2=(a+bi)(a−bi){displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}



參見



  • 立方

  • 次方




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