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二元运算属于数学运算的一种。二元运算需要三个元素：二元运算符以及该运算符作用的两个变量。如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。

如在运算1+2之中，二元运算符为“+”，而该运算符作用的操作数分别为1与2。

二元运算只是二元函数的一种，由于它被广泛应用于各个领域，因此受到比其它函数更高的重视。

定义

给定集合A{displaystyle A}，二元函数F:A×A→A{displaystyle F:Atimes Arightarrow A}称为集合A{displaystyle A}上的二元运算。给定集合A{displaystyle A}中两个元素a{displaystyle a}、b{displaystyle b}，则按顺序通常写为a{displaystyle a}Fb{displaystyle b}。更多时候，二元运算会采用某种运算符而不是字母做为标记。

可以看出，“集合A{displaystyle A}上的二元运算”这样的提法暗示了该运算在A{displaystyle A}上封闭。

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下：

幺元

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的二元运算，i∈A{displaystyle iin A}，则：

• 称i{displaystyle i}为A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的左幺元，若i{displaystyle i}满足：∀a∈A,i∘a=a{displaystyle forall ain A,icirc a=a}；


• 称i{displaystyle i}为A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的右幺元，若i{displaystyle i}满足：∀a∈A,a∘i=a{displaystyle forall ain A,acirc i=a}；


• 称i{displaystyle i}为A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的幺元，若i{displaystyle i}满足：i既是A{displaystyle A}在二元运算∘{displaystyle circ }下的左幺元，又是A{displaystyle A}在二元运算∘{displaystyle circ }下的右幺元。

逆元

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的二元运算，a,b∈A{displaystyle a,bin A},i{displaystyle i}是A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的幺元。则：

• 称a{displaystyle a}是b{displaystyle b}在∘{displaystyle circ }下的左逆元，若a,b{displaystyle a,b}满足：a∘b=i{displaystyle acirc b=i}。


• 称a{displaystyle a}是b{displaystyle b}在∘{displaystyle circ }下的右逆元，若a,b{displaystyle a,b}满足：b∘a=i{displaystyle bcirc a=i}。


• 称a{displaystyle a}是b{displaystyle b}在∘{displaystyle circ }下的逆元，若a,b{displaystyle a,b}满足：a既是b{displaystyle b}在∘{displaystyle circ }下的左逆元，又是b{displaystyle b}在∘{displaystyle circ }下的右逆元。（显然此时b{displaystyle b}也是a{displaystyle a}的逆元），若上下文明确是哪个运算，则元素a{displaystyle a}的逆元通常记为a−1{displaystyle a^{-1}}。

零元

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的二元运算，z∈A{displaystyle zin A}，则：

• 称z{displaystyle z}为A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的左零元，若z{displaystyle z}满足：∀a∈A,z∘a=z{displaystyle forall ain A,zcirc a=z}；


• 称z{displaystyle z}为A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的右零元，若z{displaystyle z}满足：∀a∈A,a∘z=z{displaystyle forall ain A,acirc z=z}；


• 称z{displaystyle z}为A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的零元，若z{displaystyle z}满足：z既是A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的左零元，又是A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的右零元。

零因子

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的二元运算，a∈A{displaystyle ain A}且a≠z{displaystyle aneq z},z{displaystyle z}是A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的零元。则：

• 称a{displaystyle a}是A{displaystyle A}中在∘{displaystyle circ }下的左零因子，若a{displaystyle a}满足：∃b∈A,b≠z{displaystyle exists bin A,bneq z}，使a∘b=z{displaystyle acirc b=z}。


• 称a{displaystyle a}是A{displaystyle A}中在∘{displaystyle circ }下的右零因子，若a{displaystyle a}满足：∃b∈A,b≠z{displaystyle exists bin A,bneq z}，使b∘a=z{displaystyle bcirc a=z}。


• 称a{displaystyle a}为A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的零因子，若a{displaystyle a}满足：a既是A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的左零因子，又是A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的右零因子。

交換律

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的二元运算，则：
称∘{displaystyle circ }满足交换律，若∘{displaystyle circ }满足：∀a,b∈A,a∘b=b∘a{displaystyle forall a,bin A,acirc b=bcirc a}；

结合律

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的二元运算，则：
称∘{displaystyle circ }满足结合律，若∘{displaystyle circ }满足：∀a,b,c∈A,(a∘b)∘c=a∘(b∘c){displaystyle forall a,b,cin A,(acirc b)circ c=acirc (bcirc c)}；

幂等律

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的二元运算，则：
称∘{displaystyle circ }满足幂等律，若∘{displaystyle circ }满足：∀a∈A,a∘a=a{displaystyle forall ain A,acirc a=a}；

幂幺律

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的二元运算，i是A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的幺元，
则：称∘{displaystyle circ }满足幂幺律，若∘{displaystyle circ }满足：∀a∈A,a∘a=i{displaystyle forall ain A,acirc a=i}（显然此时每个元素都是它自己的逆元）；

幂零律

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的二元运算，z是A{displaystyle A}在∘{displaystyle circ }下的零元，
则：称∘{displaystyle circ }满足幂零律，若∘{displaystyle circ }满足：∀a∈A{displaystyle forall ain A}，有a∘a=z{displaystyle acirc a=z}（显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

分配律

设∘{displaystyle circ }: A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}和⋄{displaystyle diamond } : A×A→A{displaystyle Atimes Ato A}是集合A{displaystyle A}上的两个二元运算，则：

• 称∘{displaystyle circ }对⋄{displaystyle diamond } 满足左分配律，若∘{displaystyle circ }，⋄{displaystyle diamond } 满足：∀a,b,c∈A{displaystyle forall a,b,cin A}，有a∘(b⋄c)=a∘b⋄a∘c{displaystyle acirc (bdiamond c)=acirc bdiamond acirc c}；


• 称∘{displaystyle circ }对⋄{displaystyle diamond } 满足右分配律，若∘{displaystyle circ }，⋄{displaystyle diamond } 满足：∀a,b,c∈A{displaystyle forall a,b,cin A}，有(b⋄c)∘a=b∘a⋄c∘a{displaystyle (bdiamond c)circ a=bcirc adiamond ccirc a}；


• 称∘{displaystyle circ }对⋄{displaystyle diamond } 满足分配律，若∘{displaystyle circ }對⋄{displaystyle diamond } 滿足左分配律以及右分配律；