β函數 (物理學)
在理论物理量子场论中β函數，β(g)描述的是在重正化群下，理論中耦合常數g随能量标度μ的變化，定义：
- β(g)=∂g∂log(μ) ,{displaystyle beta (g)={frac {partial g}{partial log(mu )}}~,}
目录
1 例子
1.1 量子电动力学
1.2 量子色动力学
1.3 SU(N)非阿贝尔规范理論
2 參考資料
例子
量子电动力学
量子电动力学 (QED)中β函數一圈图表示：
- β(e)=e312π2 ,{displaystyle beta (e)={frac {e^{3}}{12pi ^{2}}}~,}
或
- β(α)=2α23π ,{displaystyle beta (alpha )={frac {2alpha ^{2}}{3pi }}~,}
这里精细结构常数α = e2/4π .
量子色动力学
量子色动力学 (QCD)中β函數还与夸克的味数nf{displaystyle n_{f}}有关其一圈图表示：
- β(g)=−(11−2nf3)g316π2 ,{displaystyle beta (g)=-left(11-{frac {2n_{f}}{3}}right){frac {g^{3}}{16pi ^{2}}}~,}
或
- β(αs)=−(11−2nf3)αs22π ,{displaystyle beta (alpha _{s})=-left(11-{frac {2n_{f}}{3}}right){frac {alpha _{s}^{2}}{2pi }}~,}
这里 αs = g24π{displaystyle {frac {g^{2}}{4pi }}} .
- 如果 nf ≤ 16则β函數为负数，理论存在漸近自由，这一现象在1973年，被弗朗克·韋爾切克和戴維·格婁斯[1]，與休·波利策[2]兩組人發現。他們三人在2004年因這項發現而獲得了諾貝爾物理學獎[3]。
SU(N)非阿贝尔规范理論
β(α)=μ2∂∂μ2α(μ2)4π=−[β0(α4π)2+β1(α4π)3+β2(α4π)4+⋯]{displaystyle beta (alpha )=mu ^{2}{frac {partial }{partial mu ^{2}}}{frac {alpha (mu ^{2})}{4pi }}=-left[beta _{0}left({frac {alpha }{4pi }}right)^{2}+beta _{1}left({frac {alpha }{4pi }}right)^{3}+beta _{2}left({frac {alpha }{4pi }}right)^{4}+cdots right]}
![{displaystyle beta (alpha )=mu ^{2}{frac {partial }{partial mu ^{2}}}{frac {alpha (mu ^{2})}{4pi }}=-left[beta _{0}left({frac {alpha }{4pi }}right)^{2}+beta _{1}left({frac {alpha }{4pi }}right)^{3}+beta _{2}left({frac {alpha }{4pi }}right)^{4}+cdots right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87710ad81c0535f6159d9d4af126a3dc472c4faa)
β0=113CA−43TFnf{displaystyle beta _{0}={frac {11}{3}}C_{A}-{frac {4}{3}}T_{F}n_{f}}
β1=343CA2−203CATFnf−4CFTFnf{displaystyle beta _{1}={frac {34}{3}}C_{A}^{2}-{frac {20}{3}}C_{A}T_{F}n_{f}-4C_{F}T_{F}n_{f}}
β2=285754CA3−141527CA2TFnf+15827CATF2nf2+449CFTF2nf2−2059CFCATFnf+2CF2TFnf{displaystyle beta _{2}={frac {2857}{54}}C_{A}^{3}-{frac {1415}{27}}C_{A}^{2}T_{F}n_{f}+{frac {158}{27}}C_{A}T_{F}^{2}n_{f}^{2}+{frac {44}{9}}C_{F}T_{F}^{2}n_{f}^{2}-{frac {205}{9}}C_{F}C_{A}T_{F}n_{f}+2C_{F}^{2}T_{F}n_{f}}
其中： TF=12,CF=N2−12N{displaystyle T_{F}={frac {1}{2}},C_{F}={frac {N^{2}-1}{2N}}}和 CA=N{displaystyle C_{A}=N}
參考資料
^ D.J. Gross, F. Wilczek. Ultraviolet behavior of non-abeilan gauge theories. Physical Review Letters. 1973, 30: 1343–1346. Bibcode:1973PhRvL..30.1343G. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1343.
^ H.D. Politzer. Reliable perturbative results for strong interactions. Physical Review Letters. 1973, 30 (26): 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.
^ The Nobel Prize in Physics 2004. NobelPrize.org. Nobel Media. [26 August 2011].
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